纸上谈兵: 图 (graph)

  • 时间:
  • 浏览:0
  • 来源:五分时时彩_五分时时彩怎么玩_五分时时彩平台哪个好

作者:Vamei 出处:http://www.cnblogs.com/vamei 欢迎转载,也请保留这段声明。谢谢!

图(graph)是两种比较松散的数据社会形态。它有过后 节点(vertice),在过后 节点之间,由(edge)相连。节点的概念在树中也跳出过,让我们让我们通常在节点中储存数据。边表示有一八个节点之间的处在关系。在树中,让我们让我们用边来表示子节点和父节点的归属关系。树是两种特殊的图,但限制性更强过后 。

另有一八个的两种数据社会形态是很常见的。比如计算机网络,可是 由过后 节点(计算机可能性路由器)以及节点之间的边(网线)构成的。城市的道路系统,也是由节点(路口)和边(道路)构成的图。地铁系统并能只能理解为图,地铁站能只能认为是节点。基于图有过后 经典的算法,比如求图饱含一八个节点的最短路径,求最小伸展树等。

图的经典研究是柯尼斯堡七桥现象(Seven Bridges of Königsberg)。柯尼斯堡是现今的加里宁格勒,城市饱含两根河流过,河蕴饱含一八个小岛。有七座桥桥连接河的两岸和有一八个小岛。送信员总想知道,有只能 有一八个依据,能不重复的走过7个桥呢?

(这个 现象在过后 奥数教材中称为"一笔画"现象)

欧拉时代的柯尼斯堡地图

柯尼斯堡的能只能看作由7个边和有一八个节点构成的有一八个图:

这个 现象最终被欧拉巧妙的正确处理。七桥现象也启发了一门新的数科学得科——图论(graph theory)的诞生。欧拉的基本思路是,可能性某个节点并能 起点可能性终点,只能 连接它的边的数目并能 为偶数个(从有一八个桥进入,再从另有一八个桥抛妻弃子)。对于柯尼斯堡的七桥,可能性有一八个节点都为奇数个桥,而最多只能有有一八个节点为起点和终点,可是可能性性一次走完。

图的定义

严格的说,图[$G = (V, E)$]是由节点的集合V和边的集合E构成的。有一八个图的所有节点构成有一八个集合[$V$]。有一八个边能只能表示为[$(v_1, v_2)$],其中[$v_1, v_2 \in V$],即有一八个节点。可能性[$(v_1, v_2)$]有序,即[$(v_1, v_2)$]与[$(v_2, v_1)$]不同,只能 图是有向的(directed)。有序的边能只能理解为单行道,只能沿有一八个方向行进。可能性[$(v_1, v_2)$]无序,只能 图是无向的(undirected)。无序的边能只能理解成双向都能只能行进的道路。有一八个无序的边能只能看作连接相同节点的有一八个反向的有序边,可是无向图能只能理解为有向图的两种特殊请况。

(七桥现象中的图是无向的。城市中的公交线路能只能是无向的,比如处在单向环线)

图的有一八个路径(path)是图的一系列节点[$w_1, w_2, ..., w_n$],且对于[$1 \le i < n $],有[$ (w_i, w_{i+1}) \in E$]。也可是 说,路径是一系列的边连接而成,路径的两端为有一八个节点。路径顶端的总数称为路径的长度。乘坐地铁时,让我们让我们会在选泽某个路径,来从A站到达B站。另有一八个的路径可能性有不止两根,让我们让我们往往会根据路径的长度以及沿线的拥挤请况,来选泽两根最佳的路线。可能性处在两根长度大于0的路径,该路径的两端为同一节点,只能 认为该图中处在环路(cycle)。很明显,上海的地铁系统中处在环路。

 

找到两根环路

可能性从每个节点,到任意有一八个其它的节点,并能 两根路径一句话,只能 图是连通的(connected)。对于有一八个有向图来说,另有一八个的连通称为强连通(strongly connected)。可能性有一八个有向图不满足强连通的条件,但将它的所有边都改为双向的,此时的无向图是连通的,只能 认为该有向图是弱连通(weakly connected)。

可能性将有火车站的城市认为是节点,铁路是连接城市的边,另有一八个的图可能性是不连通的。比如北京和费城,北京有铁路通往上海,费城有铁路通往纽约,但北京和费城之间只能 路径相连。

图的实现

两种简单的实现图的依据是使用二维数组。让数组a的每一行为有一八个节点,该行的不同元素表示该节点与过后 节点的连接关系。可能性[$(u, v) \in E$],只能 a[u][v]记为1,过后 为0。比如下面的有一八个包饱含一八个节点的图:

 

能只能简单表示为

a 1 2 3
1 0 1 1
2 0 0 0
3 0 1 0

这个 实现依据所处在的空间为[$O(|V|^2)$],[$|V|$]为节点总数。所需内存随着节点增加而这么快增多。可能性边并能 很密集,只能 可是数组元素记为0,只能稀疏的过后 数组元素记为1,可是不须是很经济。

更经济的实现依据是使用,即记录每个节点所有的相邻节点。对于节点m,让我们让我们建立有一八个链表。对于任意节点k,可能性有[$(m, k) \in E$],就将该节点中中放对应节点m的链表中。邻接表是实现图的标准依据。比如下面的图,

 

能只能用如下的数据社会形态实现:

 

左侧为有一八个数组,每个数组元素代表有一八个节点,且指向有一八个链表。该链表包饱含该数组元素所有的相邻元素。

总体上看,邻接表能只能分为两帕累托图。邻接表所处在的总空间为[$O(|V| + |E|)$]。数组帕累托图储存节点信息,处在[$|V|$])的空间,即节点的总数。链表存储边的信息,处在[$|E|$]的空间,即边的总数。在过后 复杂化的现象中,定点和边还可能性有过后 的附加信息,让我们让我们能只能将那先 附加信息储处在相应的节点可能性边的位置。

下面为具体的C代码:

/* By Vamei */
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define NUM_V 5

typedef struct node *position;

/* node */
struct node {
    int element;
    position next;
};

/* 
 * operations (stereotype)
 */
void insert_edge(position, int, int);
void print_graph(position graph, int nv);

/* for testing purpose */
void main()
{
    struct node graph[NUM_V];
    int i;

    // initialize the vertices
    for(i=1; i<NUM_V; i++) {
        (graph+i)->element = i;
        (graph+i)->next    = NULL;
    }

    // insert edges
    insert_edge(graph,1,2);
    insert_edge(graph,1,4);
    insert_edge(graph,3,2);
    insert_edge(graph,4,2);
    insert_edge(graph,4,3);

    print_graph(graph,NUM_V);
}

/* print the graph */
void print_graph(position graph, int nv) {
    int i;
    position p;
    for(i=1; i<nv; i++) {
        p = (graph + i)->next;
        printf("From %3d: ", i);
        while(p != NULL) {
            printf("%d->%d; ", i, p->element);
            p = p->next;
        }
        printf("\n");
    }
}

/*
 * insert an edge
 */
void insert_edge(position graph,int from, int to)
{
    position np;
    position nodeAddr;

    np = graph + from;

    nodeAddr = (position) malloc(sizeof(struct node));
    nodeAddr->element = to;
    nodeAddr->next    = np->next;
    np->next = nodeAddr;
}

运行结果:

From   1: 1->4; 1->2;

From   2:

From   3: 3->2;

From   4: 4->3; 4->2;

顶端的实现主要基于链表,可参考纸上谈兵: 表 (list) 。

总结

图是两种很简单的数据社会形态。图的组织依据比较松散,自由度比较大,但也造成比较高的算法复杂化度。我将在过后介绍过后 图的经典算法。

欢迎继续阅读“纸上谈兵: 算法与数据社会形态”系列